LA ANCHURA DEL RÍO (Solución) (por JMEB, 29.04.2005)

Este problema es una propuesta de mi estimado amigo Joaquín con el que comparto la peculiar afición de estrujarnos el cerebro, ejercitando esa materia gris que demasiados tienen de adorno. Así que, nos divertimos haciendo gimnasia mental con problemas matemáticos, geométricos, lógicos, curiosidades varias, etc. A él le dedico mi particular resolución del problema, esperando que sea de su gusto y de quienes lo lean.

El problema propuesto consiste en que queremos medir la anchura de un río, o de otra manera, la distancia que hay entre las dos orillas. Para ello vamos a utilizar dos barcos. Los barcos están inicialmente en orillas opuestas y van a desplazarse hacia la orilla contraria, cada uno a una velocidad constante pero distinta una de otra. Al cabo de cierto tiempo, se cruzan en el camino precisamente a 400 m. de la orilla A (FOTO-1). Cuando los barcos llegan a la orilla opuesta, dan inmediatamente media vuelta y se dirigen de nuevo a la orilla de la que partieron. Se vuelven a cruzar en el camino exactamente a 300 m. de la orilla B (FOTO-2).

Con estos datos y suponiendo un caso ideal, es decir, suponiendo que los barcos no pierden tiempo en dar la vuelta y que los barcos los podemos considerar como puntos que se desplazan, ¿podríamos averiguar la anchura del río?

SOLUCIÓN ANALÍTICA:

Partiendo de que:

L es la anchura del río
L1 es la distancia de la orilla-A cuando se cruzan la primera vez
L2 es la distancia de la orilla-B cuando se cruzan la segunda vez
V1 es la velocidad constante del primer barco
V2 es la velocidad constante del segundo barco
T1 es el instante en el que se cruzan la primera vez
T2 es el instante en que se cruzan la segunda vez

1º. Analizamos el instante T1 y tenemos que:

;   despejamos T1:  

;   despejamos T1:  

Igualando:

Llegamos a que la relación de velocidades es:  

2º Analizamos el instante T2 y tenemos análogamente que:

;   despejamos T2:  

;   despejamos T2:  

Igualando:

Llegamos a que la relación de velocidades es:  

3º Igualamos las relaciones de velocidades obtenidas:

Operando con las fracciones:

De donde como L no puede ser cero lo ha de ser el Interior del paréntesis:

Por lo que:

Y aplicando los datos del problema obtenemos que la anchura del río mide:

SOLUCIÓN LÓGICO-GEOMÉTRICA:

Vamos a dibujar en unos ejes de coordenadas los desplazamientos de los barcos en función del tiempo:

Se puede observar claramente que en el segundo cruce, la suma de las distancias recorridas por los dos barcos es de 3 veces la anchura del río, por lo que el Barco-1 ha contribuido con 3 veces la de su recorrido hasta el primer cruce (la razón es que en el primer cruce la suma de sus distancias recorridas es igual a una vez la anchura del río). Así que como la distancia recorrida por el Barco-1 hasta el segundo cruce, supera en 300 m. la anchura del río, llegamos igualmente a la conclusión de que la anchura es de:

CURIOSIDADES Y OTROS PENSAMIENTOS.

1º En la ilustración anterior se han dibujado dos puntos que corresponden al instante en que las distancias de cada barco a la orilla más cercana son iguales, pero no hay cruce. Se puede deducir fácilmente que en ese instante la suma de distancias recorridas por los barcos es de 2 veces la anchura del río. Si suponemos que hay un barco más rápido, éste llegará a la orilla opuesta antes que el otro. Al darse la vuelta se separará de esta orilla, mientras que el otro barco se seguirá acercando a la otra orilla. Indudablemente habrá un instante en que las distancias de los barcos a las orillas han de coincidir (una distancia crece desde cero y la otra decrece hacia cero). Siguiendo un razonamiento análogo al anterior podemos concluir con que esta distancia de cada barco a la orilla más cercana se puede calcular teniendo en cuenta que al primer barco le falta L1 para llegar al segundo cruce y esto sobrepasa en L2 la anchura del río, por lo que esta distancia es de:

2º En el caso de que las velocidades de los barcos fueran iguales, tanto el primer cruce como el segundo se producirían en el mismo punto, es decir, en el medio del río. Por lo que la anchura del río sería el doble de la distancia del punto de encuentro. Y lógicamente ambos barcos alcanzarían la orilla contraria en el mismo instante.

3º ¿Qué otras cuestiones se podrían plantear en este problema?

Ejemplos:

• ¿Cuánto le falta al Barco-1 para llegar a la orilla opuesta cuando el Barco-2 ha dado la vuelta?
• ¿Cuántas veces han pasar de una orilla a la otra para que los dos barcos coincidan en el mismo momento en la misma orilla?

Estas y otras posibles cuestiones las dejo para estudio de los posibles lectores.